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Unidad 6. S emejanza.AplicacionesESOMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 4Página 123Resuelve1. Sabiendo que 1 estadio 185 m, halla en kilómetros el radio de la Tierra que obtuvoEratóstenes. Compáralo con la realidad: 6 371 km.Si a 1/50 del ángulo total le corresponde un arco de 5 000 estadios, al ángulo total le corresponden 50 5 000 250 000 estadios. Esta es la longitud de la circunferencia terrestre. Elradio R se obtiene así:2πR 250 000 R 250 000 39 788,7 estadios 7 360 916 m 7 361 km2π2. ¿Cuánto mide el lado de la ciudad china?Llamamos x a la medida, en pasos, del lado del cuadrado (ciudad).Los catetos del triángulo rectángulo que tiene el ángulo recto en la puerta norte, N, miden x2y 20 pasos.Este triángulo es semejante al grande, cuyos catetos miden 1 775 pasos y20 x 14 x 34 pasos.La semejanza de los dos triángulo permite poner:xx 20 2 20 81775 x 343 550 x 34–34 34 2 284 000 –34 534 22 x  2 34x – 71 000 0 x Solo es válida la raíz positiva: x 250 pasos.1

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 41 SemejanzaPágina 1251. Para construir una carpa semiesférica para su maqueta, Gonzalo ha necesitado 402 cm2de tela. Sabiendo que tiene un diámetro de 16 cm, calcula la superficie y el volumen de lacarpa en la realidad.Calculamos en primer lugar el volumen de la carpa, en maqueta:Vesfera maqueta 4 πR   3 4 π · 83 2 144,60 cm333Vcarpa maqueta 2 144,60 : 2 1 072,30 cm3Por tanto:Vcarpa real Vcarpa maqueta · 5003 134 037 500 000 cm3 134 037,5 m3Scarpa real Scarpa maqueta · 5002 100 500 000 cm2 10 050 m22. La Estatua de la Libertad de Nueva York mide 30,6 m de los pies a la cabeza. Si con ellase reprodujo a una persona cuya estatura era de 170 cm, ¿qué escala utilizaron para suconstrucción?30,6 m 3 060 cm3 060 cm de la escultura corresponden a 170 cm en la realidad.Escala 3 060 : 170 18La escala es 18:1; es decir, 18 cm en la escultura representan 1 cm en la realidad.2

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 42 Semejanza de triángulosPágina 1271. Estamos en A. Queremos calcular la distancia a un lugar lejano e inaccesible, C  . Paraeso, señalamos otro punto próximo, B  , y medimos: AB 53 m. Medimos también los ángulos A 46 y B 118 .ABCAhora dibujamos en nuestro cuaderno un triángulo A'B'C' con las siguientes medidas: A'B' 53 mm, A' 46 , B' 118 .a) Construye el triángulo A'B'C' en tu cuaderno.&&b) Explica por qué A'B'C' es semejante a ABC .c) Mide A'C' con la regla.d) Deduce cuánto mide la distancia buscada, AC .a) Se construye el triángulo con las indicaciones dadas.b) Los triángulos son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.c) A'C' mide unos 17 cm.d) Si llamamos x AC :53 mm 170 mm x 170 m53 mx3

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 43 La semejanza en los triángulos rectángulosPágina 1291. En este triángulo rectángulo, calcula las longitudes h, m y n.20 cm15 cmhmn&En ABC aplicamos el teorema de Pitágoras:A(m n)2 202 152 (m n)2 625 m n 2520 cmAhora aplicamos el teorema del cateto.20 2 (m n) · m4 Como m n 25:15 2 (m n) · nCmhD n15 cmB202 25m m 400 16 cm25152 25n n 225 9 cm25Por último aplicamos el teorema de la altura:h2 m · n h2 16 · 9 144 h 12 cm2. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden20 cm y 22,05 cm, respectivamente. Calcula las medidas de los catetos y de la altura sobre la hipotenusa.&Aplicamos el teorema del cateto a ABC :AcB20hb   2 (20 22,05) · 22,05 927,2025 b 30,45 cmb22,05Cc  2 (20 22,05) · 20 841 c 29 cm&Para calcular la altura sobre la hipotenusa de ABC utilizamos el teorema de la altura:h2 20 · 22,05 441 h 21 cm4

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 44 Aplicaciones de la semejanza de triángulosPágina 1301. Calcula el volumen de un tronco de cono cuya altura es 9 cm y cuyas bases tienen radiosde 20 cm y 35 cm.a) Hazlo paso a paso, razonadamente.b) Compruébalo aplicando la fórmula anterior.x x 9 35x 20x 180 2035a)x20 cm 15x 180 x 12 cm9 cm35 cmVtronco 1 π · 352 · (12 9) – 1 π · 202 · 12 1 π (25 725 – 4 800) 21 912,61 cm3333b) Vtronco 1 π (352 35 · 20 202) · 9 1 π · 2 325 · 9 21 912,61 cm3332. Calcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cua-drados.Lados de los cuadrados: 40 cm y 16 cmAltura: 9 cm16 cmx89 cm940 cm20x 9 x 8x 72 20x 12x 72 x 6 cm208Vtronco 1 [402 · (9 6)] – 1 (162 · 6) 1 (24 000 – 1 536) 7 488 cm33335

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 4Página 1313. Un globo sube 643 m sobre la superficie de la Tierra. Averigua qué superficie terrestre severá desde arriba. Hazlo de dos formas:a) Razonadamente, utilizando el teorema del cateto.b) Aplicando la fórmula anterior, para comprobar que la solución es correcta.c) ¿A qué altura hemos de ascender para ver exactamente el 5 % de la superficie de la Tierra? (Aplica la fórmula).a) Por el teorema del cateto:R   2 (R – h)(R d ) donde: R radio de la Tierra 6 371 kmd 643 m 0,643 km26 3712 (6 371 – h)(6 371 0,643) h 6 371 · 6 371, 643 – 6 371 0,643 km6 371, 643Acasquete 2πRh 2π · 6 371 · 0,643 25 726,35 km222b) Acasquete 2πR d 2π · 6 371 · 0, 643 25 723,76 km26 371, 643R dc) Stierra 4πR   2 509 805 890,96 km25 % de Stierra 25 490 294,548 km22ARA 2πR d AR Ad 2πR   2d AR d (2πR   2 – A) d R d2πR 2 – Ad 25 490 294, 548 · 6 371 707,9 km2π · 6 371 2 – 25 490 294, 5484. Un cohete se aproxima a la Luna, cuyo diámetro, según sabemos, es de 3 500 km.a) Averigua qué superficie de Luna se ve desde el cohete cuando se encuentra a 1 000 kmde distancia. Hazlo razonadamente y comprueba el resultado aplicando la fórmula.b) ¿A qué distancia debe estar el cohete para poder asegurar que sus ocupantes puedenver al 10 % de la superficie de la Luna? (Aplica la fórmula).a)R R – h 8 1750 1750 – h 8 h 1750 2 – 1750 · 2 750 636,36 kmR2 7501750–2 750R dAcasquete 2πRh 2π · 1 750 · 636,36 6 997 143,654 km222Acasquete 2πR d 2π · 1750 · 1000 6 997 183,638 km22 750R db) Sluna 4πR   2 38 484 510 km210 % de Sluna 3 848 451 km2d S LUNA · R 6 734 789 250 437,5 km215 393 8042πR – S LUNA6

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 45 Semejanza de rectángulos. AplicacionesPágina 1331. Si a una hoja A-4 se le corta una tira de 2,5 cm de ancho a lo largo del lado mayor, obten-drás un rectángulo áureo. Constrúyete dos.A uno de ellos, córtale un cuadrado. Comprueba que el rectángulo remanente es semejante al rectángulo inicial.Experiencia práctica.2. Si a una hoja A-4 le añadimos un cuadrado, el rectángulo resultante, al que llamaremosA-4 plus, tiene la siguiente propiedad: si le quitamos dos cuadrados, el rectángulo remanente es semejante al inicial.El rectángulo sombreado es semejante al rectángulo total.A-4 PLUSa) Compruébalo con una hoja A-4.b) Demuéstralo teniendo en cuenta que las dimensiones del A-4 plus son 2 1 y 1, y lasdel rectángulo sobrante son 1 y 2 – 1.a) Experiencia práctica.b) Debemos comprobar que2 1 1 .12 –1 2 1j 2 – 1j 2 2 – 1 2 2 – 1 17

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 4Página 134Hazlo tú. ¿A qué distancia de nuestros ojos debemos poner una bola de 3 cm de diámetropara que al mirar a la Luna la tape completamente?Distancia a la luna 384 000 km 3,84 · 1010 cmDiámetro de la bola 3 cmDiámetro de la luna 3 500 km 3,5 · 108 cmDistancia a la bola x cmComo la luna y la bola tendrían el mismo tamaño aparente, la razón entre sus distancias a los ojosdebe ser igual que la razón entre sus diámetros:3, 84 · 10 10 3, 5 · 10 8 x 3 · 3, 84 · 10 10 329 cm 3,29 metrosx33, 5 · 10 8Hazlo tú. Si M y N son los puntos medios de BC y AD, calcula MP .BMCP60 mAN90 mD% %&&CDNes semejante a MPC por ser rectángulos y ser MCP CND (alternos internos).BMP60 mACxN90 mDSiendo x MP podemos afirmar que:45x 8 x 45 75x 2 700 x 36226060 7560 45Hazlo tú. En una esfera de diámetro 24 cm se inscribe un cono de radio 8 cm. ¿Cuál serásu altura?&AABCB (ángulo inscrito en una semicircunferen es rectángulo en Wcia).&hEl radio del cono es la altura sobre la hipotenusa de ABC .824 – hBproyección de AB sobre AC 8 h4proyección de BC sobre AC 8 24 – hCPor el teorema de la altura tenemos que:82 h · (24 – h) 64 24h – h2 h2 – 24h 64 0 12 4 5 cm12 – 4 5 cmLas dos soluciones son válidas, es decir, existen dos conos que cumplen las condiciones.8

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 4Ejercicios y problemasPágina 135PracticaRazón de semejanza. Escalas1. a) ¿Son semejantes los triángulos interior y exterior?b) ¿Cuántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menorcuya razón de semejanza sea 2,5?a) No. La razón entre los catetos es 2 en el interior y 5 en el exterior.73b) 2 · 2, 5 53 Los catetos medirán 5 y 7, 5 unidades.3 · 2, 5 7, 52.Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de 2,5 cmde ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente.614 11 No son semejantes.96119143.Queremos reproducir la figura adjunta a escala 3/2.a) Haz un dibujo de la figura ampliada.b) Calcula la longitud de sus lados.a)b) A'B' 3ADB'C' 3 2 3 2 3 2BA'D' C622 c 3 m 153 3 172242D'C' 3 2 c 9 m 2A'117 3 1324Se observa que, en todos los casos:D'Longitud lado ampliado 3 · Longitud lado original2B'puesto que:AB 2C'AD 1 2 4 2 179BC 2 2 2 2 8 2 2DC 3 2 2 2 13

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 44.En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades es 2,5 cm.a) ¿Cuál es la distancia real entre ellas?b) ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es360 km?5.a)1 8 1500 0003 x 2,5 · 1 500 000 3 750 000 cm 37,5 km2, 5 8xb)1500 000 8 13 x 36 000 000 24 cm36 000 000 8 x1500 000Indica, en cada caso, cuál es la escala del plano:a) 1 mm del plano representa 10 m reales.b) 50 km reales se representan por 1 dm en el plano.c) 0,001 mm reales se representan por 1 cm en el plano.a) Como 10 m 10 000 mm, la escala es 1:10 000.b) Como 50 km 500 000 dm, la escala es 1:500 000.c) Como 0,001 mm 0,0001 cm, la escala es 10 000:1.6.En el plano de un piso cuya escala es 1:200, el salón ocupa una superficie de 7 cm2.¿Cuál es la superficie real del salón?7 · 2002 280 000 cm2 28 m27.Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, ¿qué área ocupará en un planode escala 1:25?Área 275 · 150 20 625 cm22En el plano ocupará 20 625 33 cm2.25 28.Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula:a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4cm de diámetro.b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2.c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua.a) 1 cm 8 250 cm bb h 1500 cm 15 m La torre cilíndrica mide 15 m de altura36 cm 8h d 1000 cm 10 m y 10 m de diámetro.b4 cm 8da2b) 40 · 250 2 500 000 cm2 250 m2c) 20 · 2503 312 500 000 cm3 312,5 m310

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 4Semejanza de triángulosIdentifica triángulos en posición de Tales en cada figura y calcula, en cada caso, lalongitud del segmento DE  :a)4m9mAb)CDxEAx15 m16 m4D mCBd) Ac) D15 mxEC7m2m10,9mBBE13 m9.6mCE xBDF3mAO &&a) Los triángulos ACB y DCE están en posición de Tales porque tienen C en común ylos lados DE y AB son paralelos. Por tanto, son semejantes y se cumple:x 4 8 x 16 · 4 64 4,92 m131316 13 &&b) BAC y EAD están en posición de Tales porque A es común a ambos y ED y BC sonparalelos. Por tanto, son semejantes y:x 15 8 x 15 · 13 10,26 m13 1919 & &&c) FOA, EOB y DOC están en posición de Tales, porque O es común a los tres triángulos y FA // EB // DC. Por tanto:x 9 8 x 9 · 7 63 21 m7 333% %&&d) AEB y CED están en posición de Tales, porque AEB CED (opuestos por el vértice)y AB // CD. Por tanto:15 10, 2 8 x 6 · 15 8,82 m10, 2x6En la figura, el segmento DE es paralelo a AB.cmBJustifica que los triángulos ABC y CDE son semejantes y calcula DEy EC .4,8 cm8,410.A6 cmD Los triángulos ABC y CDE son semejantes porque tienen un ángulo común, C , y los ladosopuestos a ese ángulo son paralelos, DE // AB. Están en posición de Tales.DE DC 8 DE 12 8 DE 12 · 8, 4 5,6 cm188, 4 18AB ACEC DE 8x 5, 6 8,4x 26,88 5,6x 2,8x 26,88 x 9,6 4,8 x8, 4BCAB EC 9,6 cm11E12 cmC

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMatemáticas orientadasa las Enseñanzas Académicas 411.¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y AED?Halla el perímetro del trapecio EBCD.17cmBEC6 cmA 10 cm D Porque son rectángulos con un ángulo agudo común, A . Tienen los tres ángulos iguales. Hallamos EA aplicando el teorema de Pitágoras:EA 10 2 – 6 2 8 cm, AB 8 17 25 cm AC AB 8 10 x 25 80 8x 250 8x 170108AD EAx 21,25 DC 21,25 cm BC AB 8 BC 25 8 BC 150 18,75 cm886ED AE Perímetro de EBCD 17 18,75 21,25 6 63 cm12.En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es 3/4. Halla el perímetrode otro triángulo semejante en el que el cateto menor mide 54 cm.x3413.54 3 8 x 54 · 4 72 cm mide el cateto mayor.3x4h 54 2 72 2 90 cm mide la hipotenusa.54 cmPerímetro 54 72 90 216 cmLa razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es 150 cm2,¿cuál es el área del menor?2El área del menor es 150 · c 2 m 24 cm2.512

Unidad 6.ESOSemejanza. AplicacionesMat